Faire suer les betteraves avec un peu de beurre. Ajouter le sucre roux. Déglacer au vinaigre de Xérès et mouiller avec l’eau, le Campari et le rhum. Laisser compoter à feu doux pendant 15 minutes environ. Assaisonner puis ajouter le vinaigre balsamique. Laisser cuire encore 5 minutes. Pendant ce temps, faire chauffer un peu de beurre dans une poêle. Ajouter deux cuillères à soupe d’eau. Casser les œufs individuellement dans des tasses et les verser délicatement dans la poêle. Chauffer à feu doux en prenant garde de ne pas cuire le jaune. Saler uniquement le blanc en veillant à ne pas toucher le jaune et déglacer avec un trait de vinaigre de Xérès.
Dresser en déposant quelques cuillères de betteraves au fond des assiettes. Déposer deux œufs par personnes dessus puis agrémenter avec le reste des betteraves et le jus de cuisson. Servir.